@misc{EhlenFloegeGoebeletal.2023,
  author    = {Ehlen, Tobias and Fl{\"o}ge, Annie and G{\"o}bel, Franziska and Keller, Peter and Rœlly, Sylvie},
  title     = {{\"U}bungsbuch zur Stochastik},
  editor    = {Keller, Peter and Rœlly, Sylvie},
  publisher = {Universit{\"a}tsverlag Potsdam},
  address   = {Potsdam},
  isbn      = {978-3-86956-563-7},
  doi       = {10.25932/publishup-59593},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-595939},
  pages     = {306},
  year      = {2023},
  abstract  = {Dieses Buch stellt {\"U}bungen zu den Grundbegriffen und Grunds{\"a}tzen der Stochastik und ihre L{\"o}sungen zur Verf{\"u}gung. So wie man Tonleitern in der Musik trainiert, so berechnet man {\"U}bungsaufgaben in der Mathematik. In diesem Sinne soll dieses {\"U}bungsbuch vor allem als Vorlage dienen f{\"u}r das eigenst{\"a}ndige, eigenverantwortliche Lernen und {\"U}ben. Die Sch{\"o}nheit und Einzigartigkeit der Wahrscheinlichkeitstheorie besteht darin, dass sie eine Vielzahl von realen Ph{\"a}nomenen modellieren kann. Daher findet man hier Aufgaben mit Verbindungen zur Geometrie, zu Gl{\"u}cksspielen, zur Versicherungsmathematik, zur Demographie und vielen anderen Themen.},
  language  = {de}
}
@article{Alpers1994,
  author    = {Alpers, Karsten},
  title     = {{\"U}ber zweidimensionale diskrete Bewegungsgruppen der pseudoeuklidischen Ebene},
  year      = {1994},
  language  = {de}
}
@unpublished{Zehmisch2008,
  author    = {Zehmisch, Ren{\´e}},
  title     = {{\"U}ber Waldidentit{\"a}ten der Brownschen Bewegung},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus-49469},
  year      = {2008},
  abstract  = {Aus dem Inhalt: 1 Abraham Wald (1902-1950) 2 Einf{\"u}hrung der Grundbegriffe. Einige technische bekannte Ergebnisse 2.1 Martingal und Doob-Ungleichung 2.2 Brownsche Bewegung und spezielle Martingale 2.3 Gleichgradige Integrierbarkeit von Prozessen 2.4 Gestopptes Martingal 2.5 Optionaler Stoppsatz von Doob 2.6 Lokales Martingal 2.7 Quadratische Variation 2.8 Die Dichte der ersten einseitigen {\"U}berschreitungszeit der Brown- schen Bewegung 2.9 Waldidentit{\"a}ten f{\"u}r die {\"U}berschreitungszeiten der Brownschen Bewegung 3 Erste Waldidentit{\"a}t 3.1 Burkholder, Gundy und Davis Ungleichungen der gestoppten Brown- schen Bewegung 3.2 Erste Waldidentit{\"a}t f{\"u}r die Brownsche Bewegung 3.3 Verfeinerungen der ersten Waldidentit{\"a}t 3.4 St{\"a}rkere Verfeinerung der ersten Waldidentit{\"a}t f{\"u}r die Brown- schen Bewegung 3.5 Verfeinerung der ersten Waldidentit{\"a}t f{\"u}r spezielle Stoppzeiten der Brownschen Bewegung 3.6 Beispiele f{\"u}r lokale Martingale f{\"u}r die Verfeinerung der ersten Waldidentit{\"a}t 3.7 {\"U}berschreitungszeiten der Brownschen Bewegung f{\"u}r nichtlineare Schranken 4 Zweite Waldidentit{\"a}t 4.1 Zweite Waldidentit{\"a}t f{\"u}r die Brownsche Bewegung 4.2 Anwendungen der ersten und zweitenWaldidentit{\"a}t f{\"u}r die Brown- schen Bewegung 5 Dritte Waldidentit{\"a}t 5.1 Dritte Waldidentit{\"a}t f{\"u}r die Brownsche Bewegung 5.2 Verfeinerung der dritten Waldidentit{\"a}t 5.3 Eine wichtige Voraussetzung f{\"u}r die Verfeinerung der drittenWal- didentit{\"a}t 5.4 Verfeinerung der dritten Waldidentit{\"a}t f{\"u}r spezielle Stoppzeiten der Brownschen Bewegung 6 Waldidentit{\"a}ten im Mehrdimensionalen 6.1 Erste Waldidentit{\"a}t im Mehrdimensionalen 6.2 Zweite Waldidentit{\"a}t im Mehrdimensionalen 6.3 Dritte Waldidentit{\"a}t im Mehrdimensionalen 7 Appendix},
  language  = {de}
}
@book{Baumgaertel1997,
  author    = {Baumg{\"a}rtel, Hellmut},
  title     = {{\"U}ber Superauswahlstrukturen und deren Eichgruppen},
  series = {Preprint / Universit{\"a}t Potsdam, Institut f{\"u}r Mathematik},
  volume    = {1997, 06},
  journal   = {Preprint / Universit{\"a}t Potsdam, Institut f{\"u}r Mathematik},
  publisher = {Univ.},
  address   = {Potsdam},
  pages     = {13 Bl.},
  year      = {1997},
  language  = {de}
}
@article{Kasper1996,
  author    = {Kasper, Uwe},
  title     = {{\"U}ber Schr{\"o}dinger-Gleichungen in Einsteins Gravitationstheorie},
  year      = {1996},
  language  = {de}
}
@article{Klotzek1995,
  author    = {Klotzek, Benno},
  title     = {{\"U}ber neuere Ergebnisse zu den diskontinuierlichen Bewegungsgruppen verschiedenen Grades in metrischen R{\"a}umen : Abstrakt},
  year      = {1995},
  language  = {de}
}
@phdthesis{Koppitz1993,
  author    = {Koppitz, J{\"o}rg},
  title     = {{\"U}ber Halbgruppen mit vereinigungshalbdistributivem Unterhalbgruppenverband},
  pages     = {60 S.},
  year      = {1993},
  language  = {de}
}
@article{Klotzek1996,
  author    = {Klotzek, Benno},
  title     = {{\"U}ber die Tatsachen, welche der Geometrie zugrunde liegen},
  year      = {1996},
  language  = {de}
}
@phdthesis{Lueders1992,
  author    = {L{\"u}ders, Otfried},
  title     = {{\"A}quivalenzen und Dualit{\"a}ten von Variet{\"a}ten und Quasivariet{\"a}ten die von endlichen Algebren erzeugt werden},
  pages     = {111, II Bl. : Ill.},
  year      = {1992},
  language  = {de}
}
@article{Junek2020,
  author    = {Junek, Heinz},
  title     = {Zyklizit{\"a}t in Raum, zeit und geist : {\"u}ber Pflasterungen, Rollkurven, Dezimalbr{\"u}che, Schwingungen, Wellen, Iteration und Neuronale Netze},
  series = {Zyklizit{\"a}t \& Rhythmik: eine multidisziplin{\"a}re Vorlesungsreihe},
  journal   = {Zyklizit{\"a}t \& Rhythmik: eine multidisziplin{\"a}re Vorlesungsreihe},
  publisher = {trafo},
  address   = {Berlin},
  isbn      = {978-3-86464-169-5},
  pages     = {85 -- 103},
  year      = {2020},
  language  = {de}
}
@article{Quaisser1994,
  author    = {Quaisser, Erhard},
  title     = {Zw{\"o}lf Punkte auf einer Kugel},
  year      = {1994},
  language  = {de}
}
@masterthesis{Engelhardt2021,
  type      = {Bachelor Thesis},
  author    = {Engelhardt, Max Angel Ronan},
  title     = {Zwischen Simulation und Beweis - eine mathematische Analyse des Bienaym{\´e}-Galton-Watson-Prozesses und sein Einsatz innerhalb des Mathematikunterrichts},
  doi       = {10.25932/publishup-52447},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-524474},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {117},
  year      = {2021},
  abstract  = {Die Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse k{\"o}nnen f{\"u}r die Untersuchung von speziellen und sich entwickelnden Populationen verwendet werden. Die Populationen umfassen Individuen, welche sich identisch, zuf{\"a}llig, selbstst{\"a}ndig und unabh{\"a}ngig voneinander fortpflanzen und die jeweils nur eine Generation existieren. Die n-te Generation ergibt sich als zuf{\"a}llige Summe der Individuen der (n-1)-ten Generation. Die Relevanz dieser Prozesse begr{\"u}ndet sich innerhalb der Historie und der inner- und außermathematischen Bedeutung. Die Geschichte der Bienaym{\´e}-Galton-Watson-Prozesse wird anhand der Entwicklung des Konzeptes bis heute dargestellt. Dabei werden die Wissenschaftler:innen verschiedener Disziplinen angef{\"u}hrt, die Erkenntnisse zu dem Themengebiet beigetragen und das Konzept in ihren Fachbereichen angef{\"u}hrt haben. Somit ergibt sich die außermathematische Signifikanz. Des Weiteren erh{\"a}lt man die innermathematische Bedeutsamkeit mittels des Konzeptes der Verzweigungsprozesse, welches auf die Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse zur{\"u}ckzuf{\"u}hren ist. Die Verzweigungsprozesse stellen eines der aussagekr{\"a}ftigsten Modelle f{\"u}r die Beschreibung des Populationswachstums dar. Dar{\"u}ber hinaus besteht die derzeitige Wichtigkeit durch die Anwendungsm{\"o}glichkeit der Verzweigungsprozesse und der Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Epidemiologie. Es werden die Ebola- und die Corona-Pandemie als Anwendungsfelder angef{\"u}hrt. Die Prozesse dienen als Entscheidungsst{\"u}tze f{\"u}r die Politik und erm{\"o}glichen Aussagen {\"u}ber die Auswirkungen von Maßnahmen bez{\"u}glich der Pandemien. Neben den Prozessen werden ebenfalls der bedingte Erwartungswert bez{\"u}glich diskreter Zufallsvariablen, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die zuf{\"a}llige Summe eingef{\"u}hrt. Die Konzepte vereinfachen die Beschreibung der Prozesse und bilden somit die Grundlage der Betrachtungen. Außerdem werden die ben{\"o}tigten und weiterf{\"u}hrenden Eigenschaften der grundlegenden Themengebiete und der Prozesse aufgef{\"u}hrt und bewiesen. Das Kapitel erreicht seinen H{\"o}hepunkt bei dem Beweis des Kritikalit{\"a}tstheorems, wodurch eine Aussage {\"u}ber das Aussterben des Prozesses in verschiedenen F{\"a}llen und somit {\"u}ber die Aussterbewahrscheinlichkeit get{\"a}tigt werden kann. Die F{\"a}lle werden anhand der zu erwartenden Anzahl an Nachkommen eines Individuums unterschieden. Es zeigt sich, dass ein Prozess bei einer zu erwartenden Anzahl kleiner gleich Eins mit Sicherheit ausstirbt und bei einer Anzahl gr{\"o}ßer als Eins, die Population nicht in jedem Fall aussterben muss. Danach werden einzelne Beispiele, wie der linear fractional case, die Population von Fibroblasten (Bindegewebszellen) von M{\"a}usen und die Entstehungsfragestellung der Prozesse, angef{\"u}hrt. Diese werden mithilfe der erlangten Ergebnisse untersucht und einige ausgew{\"a}hlte zuf{\"a}llige Dynamiken werden im nachfolgenden Kapitel simuliert. Die Simulationen erfolgen durch ein in Python erstelltes Programm und werden mithilfe der Inversionsmethode realisiert. Die Simulationen stellen beispielhaft die Entwicklungen in den verschiedenen Kritikalit{\"a}tsf{\"a}llen der Prozesse dar. Zudem werden die H{\"a}ufigkeiten der einzelnen Populationsgr{\"o}ßen in Form von Histogrammen angebracht. Dabei l{\"a}sst sich der Unterschied zwischen den einzelnen F{\"a}llen best{\"a}tigen und es wird die Anwendungsm{\"o}glichkeit der Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse bei komplexeren Problemen deutlich. Histogramme bekr{\"a}ftigen, dass die einzelnen Populationsgr{\"o}ßen nur endlich oft vorkommen. Diese Aussage wurde von Galton aufgeworfen und in der Extinktions-Explosions-Dichotomie verwendet. Die dargestellten Erkenntnisse {\"u}ber das Themengebiet und die Betrachtung des Konzeptes werden mit einer didaktischen Analyse abgeschlossen. Die Untersuchung beinhaltet die Ber{\"u}cksichtigung der Fundamentalen Ideen, der Fundamentalen Ideen der Stochastik und der Leitidee „Daten und Zufall". Dabei ergibt sich, dass in Abh{\"a}ngigkeit der gew{\"a}hlten Perspektive die Anwendung der Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Schule plausibel ist und von Vorteil f{\"u}r die Sch{\"u}ler:innen sein kann. F{\"u}r die Behandlung wird exemplarisch der Rahmenlehrplan f{\"u}r Berlin und Brandenburg analysiert und mit dem Kernlehrplan Nordrhein-Westfalens verglichen. Die Konzeption des Lehrplans aus Berlin und Brandenburg l{\"a}sst nicht den Schluss zu, dass die Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse angewendet werden sollten. Es l{\"a}sst sich feststellen, dass die zugrunde liegende Leitidee nicht vollumf{\"a}nglich mit manchen Fundamentalen Ideen der Stochastik vereinbar ist. Somit w{\"u}rde eine Modifikation hinsichtlich einer st{\"a}rkeren Orientierung des Lehrplans an den Fundamentalen Ideen die Anwendung der Prozesse erm{\"o}glichen. Die Aussage wird durch die Betrachtung und {\"U}bertragung eines nordrhein-westf{\"a}lischen Unterrichtsentwurfes f{\"u}r stochastische Prozesse auf die Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse unterst{\"u}tzt. Dar{\"u}ber hinaus werden eine Concept Map und ein Vernetzungspentagraph nach von der Bank konzipiert um diesen Aspekt hervorzuheben.},
  language  = {de}
}
@article{Westphal1996,
  author    = {Westphal, Anke},
  title     = {Zur Wertorientierung in der instrumentalen Leistungsmotivation : glechtsspezifische Aspkte ; eine Studie an Brandenburger Musikschulen},
  year      = {1996},
  language  = {de}
}
@book{MatthesNawrotzki1996,
  author    = {Matthes, Klaus and Nawrotzki, Kurt},
  title     = {Zur Struktur von Verzweigungsprozessen},
  series = {Preprint / Universit{\"a}t Potsdam, Institut f{\"u}r Mathematik},
  volume    = {1996, 02},
  journal   = {Preprint / Universit{\"a}t Potsdam, Institut f{\"u}r Mathematik},
  publisher = {Univ.},
  address   = {Potsdam},
  pages     = {40 S.},
  year      = {1996},
  language  = {de}
}
@article{Jahnke1998,
  author    = {Jahnke, Thomas},
  title     = {Zur Kritik und Bedeutung der Stoffdidaktik},
  year      = {1998},
  language  = {de}
}
@article{Jahnke2006,
  author    = {Jahnke, Thomas},
  title     = {Zur Ideologie von PISA und Co},
  isbn      = {978-388120-428-6},
  year      = {2006},
  language  = {de}
}
@article{Jahnke1995,
  author    = {Jahnke, Thomas},
  title     = {Zur Erinnerung an Mathematikerinnen und Mathematiker, die im Nationalsozialismus verfolgt wurden},
  isbn      = {3-88120-264-1},
  year      = {1995},
  language  = {de}
}
@article{Jahnke1995,
  author    = {Jahnke, Thomas},
  title     = {Zur Bedeutung "des Computers" f{\"u}r den Mathematikunterricht},
  year      = {1995},
  language  = {de}
}
@book{Koehler1996,
  author    = {K{\"o}hler, Torsten},
  title     = {Zur Antennensteuerung bei der Hyperthermie-Behandlung},
  series = {Preprint / Universit{\"a}t Potsdam, Institut f{\"u}r Mathematik},
  volume    = {1996, 12},
  journal   = {Preprint / Universit{\"a}t Potsdam, Institut f{\"u}r Mathematik},
  publisher = {Univ.},
  address   = {Potsdam},
  year      = {1996},
  language  = {de}
}
@article{SchmidtBaierBleyeretal.1994,
  author    = {Schmidt, Hans-J{\"u}rgen and Baier, Frank W. and Bleyer, Ulrich and Hubrig, Swetlana and Meister, Claudia-Veronika and Schilbach, Elena and Tiersch, Heinz},
  title     = {Zum Wissenschaftler-Integrationsprogramm},
  year      = {1994},
  language  = {de}
}