@phdthesis{Seidel2021,
  author    = {Seidel, Karen},
  title     = {Modelling binary classification with computability theory},
  doi       = {10.25932/publishup-52998},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-529988},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {viii, 120},
  year      = {2021},
  abstract  = {We investigate models for incremental binary classification, an example for supervised online learning. Our starting point is a model for human and machine learning suggested by E.M.Gold. In the first part, we consider incremental learning algorithms that use all of the available binary labeled training data in order to compute the current hypothesis. For this model, we observe that the algorithm can be assumed to always terminate and that the distribution of the training data does not influence learnability. This is still true if we pose additional delayable requirements that remain valid despite a hypothesis output delayed in time. Additionally, we consider the non-delayable requirement of consistent learning. Our corresponding results underpin the claim for delayability being a suitable structural property to describe and collectively investigate a major part of learning success criteria. Our first theorem states the pairwise implications or incomparabilities between an established collection of delayable learning success criteria, the so-called complete map. Especially, the learning algorithm can be assumed to only change its last hypothesis in case it is inconsistent with the current training data. Such a learning behaviour is called conservative. By referring to learning functions, we obtain a hierarchy of approximative learning success criteria. Hereby we allow an increasing finite number of errors of the hypothesized concept by the learning algorithm compared with the concept to be learned. Moreover, we observe a duality depending on whether vacillations between infinitely many different correct hypotheses are still considered a successful learning behaviour. This contrasts the vacillatory hierarchy for learning from solely positive information. We also consider a hypothesis space located between the two most common hypothesis space types in the nearby relevant literature and provide the complete map. In the second part, we model more efficient learning algorithms. These update their hypothesis referring to the current datum and without direct regress to past training data. We focus on iterative (hypothesis based) and BMS (state based) learning algorithms. Iterative learning algorithms use the last hypothesis and the current datum in order to infer the new hypothesis. Past research analyzed, for example, the above mentioned pairwise relations between delayable learning success criteria when learning from purely positive training data. We compare delayable learning success criteria with respect to iterative learning algorithms, as well as learning from either exclusively positive or binary labeled data. The existence of concept classes that can be learned by an iterative learning algorithm but not in a conservative way had already been observed, showing that conservativeness is restrictive. An additional requirement arising from cognitive science research \%and also observed when training neural networks is U-shapedness, stating that the learning algorithm does diverge from a correct hypothesis. We show that forbidding U-shapes also restricts iterative learners from binary labeled data. In order to compute the next hypothesis, BMS learning algorithms refer to the currently observed datum and the actual state of the learning algorithm. For learning algorithms equipped with an infinite amount of states, we provide the complete map. A learning success criterion is semantic if it still holds, when the learning algorithm outputs other parameters standing for the same classifier. Syntactic (non-semantic) learning success criteria, for example conservativeness and syntactic non-U-shapedness, restrict BMS learning algorithms. For proving the equivalence of the syntactic requirements, we refer to witness-based learning processes. In these, every change of the hypothesis is justified by a later on correctly classified witness from the training data. Moreover, for every semantic delayable learning requirement, iterative and BMS learning algorithms are equivalent. In case the considered learning success criterion incorporates syntactic non-U-shapedness, BMS learning algorithms can learn more concept classes than iterative learning algorithms. The proofs are combinatorial, inspired by investigating formal languages or employ results from computability theory, such as infinite recursion theorems (fixed point theorems).},
  language  = {en}
}
@masterthesis{Engelhardt2021,
  type      = {Bachelor Thesis},
  author    = {Engelhardt, Max Angel Ronan},
  title     = {Zwischen Simulation und Beweis - eine mathematische Analyse des Bienaym{\´e}-Galton-Watson-Prozesses und sein Einsatz innerhalb des Mathematikunterrichts},
  doi       = {10.25932/publishup-52447},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-524474},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {117},
  year      = {2021},
  abstract  = {Die Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse k{\"o}nnen f{\"u}r die Untersuchung von speziellen und sich entwickelnden Populationen verwendet werden. Die Populationen umfassen Individuen, welche sich identisch, zuf{\"a}llig, selbstst{\"a}ndig und unabh{\"a}ngig voneinander fortpflanzen und die jeweils nur eine Generation existieren. Die n-te Generation ergibt sich als zuf{\"a}llige Summe der Individuen der (n-1)-ten Generation. Die Relevanz dieser Prozesse begr{\"u}ndet sich innerhalb der Historie und der inner- und außermathematischen Bedeutung. Die Geschichte der Bienaym{\´e}-Galton-Watson-Prozesse wird anhand der Entwicklung des Konzeptes bis heute dargestellt. Dabei werden die Wissenschaftler:innen verschiedener Disziplinen angef{\"u}hrt, die Erkenntnisse zu dem Themengebiet beigetragen und das Konzept in ihren Fachbereichen angef{\"u}hrt haben. Somit ergibt sich die außermathematische Signifikanz. Des Weiteren erh{\"a}lt man die innermathematische Bedeutsamkeit mittels des Konzeptes der Verzweigungsprozesse, welches auf die Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse zur{\"u}ckzuf{\"u}hren ist. Die Verzweigungsprozesse stellen eines der aussagekr{\"a}ftigsten Modelle f{\"u}r die Beschreibung des Populationswachstums dar. Dar{\"u}ber hinaus besteht die derzeitige Wichtigkeit durch die Anwendungsm{\"o}glichkeit der Verzweigungsprozesse und der Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Epidemiologie. Es werden die Ebola- und die Corona-Pandemie als Anwendungsfelder angef{\"u}hrt. Die Prozesse dienen als Entscheidungsst{\"u}tze f{\"u}r die Politik und erm{\"o}glichen Aussagen {\"u}ber die Auswirkungen von Maßnahmen bez{\"u}glich der Pandemien. Neben den Prozessen werden ebenfalls der bedingte Erwartungswert bez{\"u}glich diskreter Zufallsvariablen, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die zuf{\"a}llige Summe eingef{\"u}hrt. Die Konzepte vereinfachen die Beschreibung der Prozesse und bilden somit die Grundlage der Betrachtungen. Außerdem werden die ben{\"o}tigten und weiterf{\"u}hrenden Eigenschaften der grundlegenden Themengebiete und der Prozesse aufgef{\"u}hrt und bewiesen. Das Kapitel erreicht seinen H{\"o}hepunkt bei dem Beweis des Kritikalit{\"a}tstheorems, wodurch eine Aussage {\"u}ber das Aussterben des Prozesses in verschiedenen F{\"a}llen und somit {\"u}ber die Aussterbewahrscheinlichkeit get{\"a}tigt werden kann. Die F{\"a}lle werden anhand der zu erwartenden Anzahl an Nachkommen eines Individuums unterschieden. Es zeigt sich, dass ein Prozess bei einer zu erwartenden Anzahl kleiner gleich Eins mit Sicherheit ausstirbt und bei einer Anzahl gr{\"o}ßer als Eins, die Population nicht in jedem Fall aussterben muss. Danach werden einzelne Beispiele, wie der linear fractional case, die Population von Fibroblasten (Bindegewebszellen) von M{\"a}usen und die Entstehungsfragestellung der Prozesse, angef{\"u}hrt. Diese werden mithilfe der erlangten Ergebnisse untersucht und einige ausgew{\"a}hlte zuf{\"a}llige Dynamiken werden im nachfolgenden Kapitel simuliert. Die Simulationen erfolgen durch ein in Python erstelltes Programm und werden mithilfe der Inversionsmethode realisiert. Die Simulationen stellen beispielhaft die Entwicklungen in den verschiedenen Kritikalit{\"a}tsf{\"a}llen der Prozesse dar. Zudem werden die H{\"a}ufigkeiten der einzelnen Populationsgr{\"o}ßen in Form von Histogrammen angebracht. Dabei l{\"a}sst sich der Unterschied zwischen den einzelnen F{\"a}llen best{\"a}tigen und es wird die Anwendungsm{\"o}glichkeit der Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse bei komplexeren Problemen deutlich. Histogramme bekr{\"a}ftigen, dass die einzelnen Populationsgr{\"o}ßen nur endlich oft vorkommen. Diese Aussage wurde von Galton aufgeworfen und in der Extinktions-Explosions-Dichotomie verwendet. Die dargestellten Erkenntnisse {\"u}ber das Themengebiet und die Betrachtung des Konzeptes werden mit einer didaktischen Analyse abgeschlossen. Die Untersuchung beinhaltet die Ber{\"u}cksichtigung der Fundamentalen Ideen, der Fundamentalen Ideen der Stochastik und der Leitidee „Daten und Zufall". Dabei ergibt sich, dass in Abh{\"a}ngigkeit der gew{\"a}hlten Perspektive die Anwendung der Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Schule plausibel ist und von Vorteil f{\"u}r die Sch{\"u}ler:innen sein kann. F{\"u}r die Behandlung wird exemplarisch der Rahmenlehrplan f{\"u}r Berlin und Brandenburg analysiert und mit dem Kernlehrplan Nordrhein-Westfalens verglichen. Die Konzeption des Lehrplans aus Berlin und Brandenburg l{\"a}sst nicht den Schluss zu, dass die Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse angewendet werden sollten. Es l{\"a}sst sich feststellen, dass die zugrunde liegende Leitidee nicht vollumf{\"a}nglich mit manchen Fundamentalen Ideen der Stochastik vereinbar ist. Somit w{\"u}rde eine Modifikation hinsichtlich einer st{\"a}rkeren Orientierung des Lehrplans an den Fundamentalen Ideen die Anwendung der Prozesse erm{\"o}glichen. Die Aussage wird durch die Betrachtung und {\"U}bertragung eines nordrhein-westf{\"a}lischen Unterrichtsentwurfes f{\"u}r stochastische Prozesse auf die Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse unterst{\"u}tzt. Dar{\"u}ber hinaus werden eine Concept Map und ein Vernetzungspentagraph nach von der Bank konzipiert um diesen Aspekt hervorzuheben.},
  language  = {de}
}
@phdthesis{Grum2021,
  author    = {Grum, Marcus},
  title     = {Construction of a concept of neuronal modeling},
  year      = {2021},
  abstract  = {The business problem of having inefficient processes, imprecise process analyses, and simulations as well as non-transparent artificial neuronal network models can be overcome by an easy-to-use modeling concept. With the aim of developing a flexible and efficient approach to modeling, simulating, and optimizing processes, this paper proposes a flexible Concept of Neuronal Modeling (CoNM). The modeling concept, which is described by the modeling language designed and its mathematical formulation and is connected to a technical substantiation, is based on a collection of novel sub-artifacts. As these have been implemented as a computational model, the set of CoNM tools carries out novel kinds of Neuronal Process Modeling (NPM), Neuronal Process Simulations (NPS), and Neuronal Process Optimizations (NPO). The efficacy of the designed artifacts was demonstrated rigorously by means of six experiments and a simulator of real industrial production processes.},
  language  = {en}
}