@article{Klotzek2001,
  author    = {Klotzek, Benno},
  title     = {Stetigkeit und Unstetigkeit in der Geometrie},
  year      = {2001},
  abstract  = {Dieser Beitrag zum Band 17 der HISTORY OF MATHEMATICS (Prag 2001) stellt unter den Untertiteln 1. Messung und Stetigkeit 2. Axiomatische Fixierung der euklidischen Geometrie 3. Verallgemeinerung zur Riemannschen Geometrie 4. Liesche Gruppen 5. Diskontinuierliche Bewegungsgruppen 6. Verallgemeinerte diskontinuierliche Bewegungsggruppen eine erweiterte Fassung des gleichlautenden Beitrags zum Sammelband MATHEMATIK-INTERDISZIPLIN{\"A}R (Shaker Verlag, Aachen 2000) dar. Da es sich um das Manuskript eines Vortrages am 2. Mai 2001 vor Lehrerbildnern der Karlsuniversit{\"a}t handelt, wird hier zus{\"a}tzlich die Ersetzung der Stetigkeitsaxiome durch die Axiome des Zirkels, die zur analytischen Geometrie des dreidimensionalen Raumes {\"u}ber einem euklidischen Zahlk{\"o}rper f{\"u}hrt, diskutiert.},
  language  = {de}
}
@book{Klotzek2001,
  author    = {Klotzek, Benno},
  title     = {Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien},
  publisher = {Deutsch},
  address   = {Frankfurt am Main},
  isbn      = {3-8171-1583-0},
  pages     = {308 S.},
  year      = {2001},
  abstract  = {Zwei Jahrtausende wurde die Mathematik in der Sprache der Geometrie formuliert; bis ins 18. Jahrhundert wurde Geometrie synonym f{\"u}r Mathematik gebraucht. Auch wenn die Geometrie nicht mehr diese Stellung in der Mathematik besitzt und den Charakter einer Naturwissenschaft verloren hat, so hat sie seitdem doch wesentlich die Entwicklung der Mathematik und Naturwissenschaft beeinflusst, und ihre Sprache bew{\"a}hrt sich auch in Disziplinen, die sich in unserem Jahrhundert herausgebildet haben. {\"U}berzeugt von einer verk{\"u}rzten Wiederholung der Wissenschaftsentwicklung in der Ontogenese der Erkenntnis der Welt, wird man speziell der Elementargeometrie stets einen geb{\"u}hrenden Platz einr{\"a}umen, wird man immer, wenn nicht gar mit Liebhabern, so doch mit Interessenten an diesem Gegenstand rechnen k{\"o}nnen, insbesondere unter den aktiven Lehrern und den Lehramtskandidaten. In erster Linie wird ihnen die Lekt{\"u}re dieses Buches empfohlen. Dabei stehen Ph{\"a}nomene zwar am Anfang, aber es geht vordergr{\"u}ndig um begriffliche Pr{\"a}zisierung und einen (evtl. noch zu erlernenden) folgerichtigen Aufbau, beides beispielhaft in bezug auf Elementarmathematik insgesamt, auch wenn die erworbenen F{\"a}higkeiten in der Schule dann nur zum lokalen Ordnen genutzt werden. Es wird keine Perfektion im logischen Schließen vorausgesetzt und durch die zahlreichen Zeichnungen dem anschaulichen {\"U}berbr{\"u}cken von Klippen sogar Vorschub geleistet, aber es werden metamathematische Betrachtungen eingestreut, und es wird {\"u}ber Beweis- und Konstruktionsaufgaben permanent "Selbstt{\"a}tigkeit nach den zuvor ausgef{\"u}hrten Beispielen" angeregt und abverlangt. Dabei kann sich der Leser fortw{\"a}hrend und reflektierend an den Regeln des nat{\"u}rlichen Schließens und damit an den wichtigsten Beweisverfahren im Anhang 1.7 orientieren. Logische Strenge wird so als nicht ein f{\"u}r alle mal vorgegeben, sondern als erlern- und steigerbar begriffen. Das erste Kapitel hat die Euklidische Elementargeometrie zum Inhalt, schrittweise aufgebaut auf Grundbegriffen und Axiomen. Dabei steht eine fiktive Erfahrungswelt der Kinder im Hintergrund, beispielsweise bei den Bewegungen von Figuren oder den Geraden als angeordneten Punktmengen. Um die Geometrie relativ lange im Sinne von TARSKI elementar aufbauen zu k{\"o}nnen, werden z.B. L{\"a}ngen und Winkelgr{\"o}ßen als {\"A}quivalenzklassen betrachtet, sichern zun{\"a}chst Axiome des Zirkels Konstruktion mit Zeichenger{\"a}ten und den Beweis von Kongruenzs{\"a}tzen ab, werden auch Drehwinkel und Schubvektoren (gerichtete Abst{\"a}nde) als {\"A}quivalenzklassen begriffen. Erst im Abschnitt 1.5 wird die Vervielfachung von gerichteten Strecken mit ganzen, rationalen und reellen Zahlen realisiert, wobei der letzte Schritt ein Stetigkeitsaxiom erforderte. Auf dieser nicht mehr ganz elementaren Stufe werden {\"A}hnlichkeit, Fl{\"a}chen- und Rauminhalte sowie die Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal er{\"o}rtert, insbesondere die Unl{\"o}sbarkeit gewisser Aufgaben. Das zweite Kapitel bezweckt mit der Darstellung nichteuklidischer Geometrien nicht nur eine Erweiterung bisher gewonnener geometrischer Kenntnisse, sondern eine wesentliche Vertiefung des Raumbegriffes, indem Aufgabenstellungen, die im ersten Kapitel formuliert wurden, unter ver{\"a}nderten Rahmenbedingungen auf L{\"o}sbarkeit untersucht werden. Das geschieht zun{\"a}chst f{\"u}r die Lobacevskijsche Geometrie mit einem Ausblick auf elliptische Geometrie und dann f{\"u}r die Banach- Minkowskischen Geometrien, also ausschließlich f{\"u}r solche Theorien, die DAVID HILBERT in seinem ber{\"u}hmten Vortrag "Mathematische Probleme" 1900 in Paris auf dem 2. Internationalen Mathematikerkongress als "der euklidischen Geometrie n{\"a}chststehend" bezeichnet hat.},
  language  = {de}
}
@article{KlotzekWendland2001,
  author    = {Klotzek, Benno and Wendland, Horst},
  title     = {Die schwachdiskontinuierlichen Raumgruppen},
  year      = {2001},
  abstract  = {Diskontinuierliche Bewegungsgruppen sind als Symmetriegruppen von gewissen Mustern intuitiv zu erfassen. Diskontinuit{\"a}t einer Bewegungsggruppe B wird hier mittels Punktorbits definiert. Im Rahmen der euklidischen Geometrie endlicher Dimension findet man als (untereinander {\"a}quivalente) charakterisierende Eigenschaften diskontinuierlicher Bewegungsgruppen z. B. die lokale Endlichkeit (LEO) der Orbits nach Hilbert und COHN/VOSSEN und die Isoliertheit der Punkte in Ihrem Orbit (IPO) nach L. FEJES TOTH. In fr{\"u}heren Arbeiten wurde von KLOTZEK gezeigt, dass durch LEO und IPO in jedem unendlich dimensionalen Hilbertraum verschiedene Klassen von Gruppen beschrieben werden, andererseits sind LEO und IPO in metrischen R{\"a}umen gleichwertig, in denen jede beschr{\"a}nkte Menge pr{\"a}kompakt ist. Die Frage ob solche Bedingungen stets {\"a}quivalent sind hat die sp{\"a}tere Einf{\"u}hrung eines ganzen Systems von {\"a}hnlichen Bedingungen initiert; hinzu kam der Wunsch, {\"u}ber verallgemeinerte diskontinuierliche Bewegungsggruppen, die noch nicht "kontinuierlich" wirken, weitere Muster zu beschreiben (vgl. etwa GR{\"U}NBAUM). Die schw{\"a}chste der in diesem Zusammenhang diskutierten Bedingungen f{\"u}hrt zu Gruppen, die einerseits keine im dreidimensionalen Raum dichtliegende Punktorbits erzeugen, andererseits aber in jeder Umgebung der Identit{\"a}t weitere nichtidentische Bewegungen enthalten. Die Bestimmung aller Raumgruppen dieses Typs ist Gegenstand der vorliegenden Arbeit. W{\"a}hrend 194 der 230 bekannten Raumgruppen unter Wahrung von kB (kristallographischen Beschr{\"a}nkung) 285 derartige Verallgemeinerungen zulassen, k{\"o}nnen ohne kB sogar {\"u}berabz{\"a}hlbar viele schwachsdikontinuierliche Gruppen beschrieben werden.},
  language  = {de}
}